벡터의 내적

벡터의 내적(dot product)은 같은 차원의  두 벡터가 주어졌을 떄, 벡터를 구성하는 각 성분을 곱한 후 이들을 더해 스칼라를 만들어내는 연산이다. 내적은 곱셈 기호와 동일한 가운데 점(•)을 사용한다.

 

 

내적은 스칼라의 곱셈과 덧셈으로 구성되어 있으므로 교환 법칙이 성립된다.

 

 

 

 

하지만 결과가 벡터가 아닌 스칼라로 나오는 성질로 인해 결합법칙은 성립하지 않는다.

내적은 덤셈에 대한  분배법칙이 성립된다.

 

같은 벡터를 내적하면 벡터의 크기를 제곱한 결과가 나온다. 이와 같은 내적의 성질은 모든

차원의 벡터에서 동일하게 적용된다.

 

벡터의 내적은 그림과 같이 두 벡터의 사잇각에 대한 cos함수와 비례하는 특징을 가진다.

 

 

위처럼 선을 그어 직각삼각형 2개를 만들면 b의 길이는 밑변 2개의 합이 된다.

 

제 2 코사인 법칙은 a² = b²+c²-2bc cosA 인데 제 1코사인 법칙에서 유도 할 수 있다.

 

제1코사인법칙의 각 식의 양변에 차례로 a, b, c를 곱하면

a² = ab cosC + ac cosB ······ ①

b² = bc cosA + ba cosC ······ ②

c² = ca cosB + cb cosA ······ ③이므로

② + ③ - ①을 계산하면 b² + c² - a² = 2bc cosA이 되고 넘겨서 정리하면 위의 식이 나온다.

 

내적의 증명

여기서 두 벡터의 크기가 1이면, 두 벡터의 내적은 cos함수가 된다

 

 

 

위처럼 a-b 벡터를 그리면 삼각형을 만들 수 있으므로

분배 법칙과 제 2코사인 법칙을 통해 벡터의 내적을 증명할 수 있다.

3차원 공간에서도 마찬가지로 이와 같이 증명이 가능하다.5

 

이러한 내적의 성질은 덧셈과 곱셈만 사용해 cos 함수 값을 빠르게 계산할 수 있어 유용하게 활용 된다. 또한 영벡터가 아닌 경우, 내적값이  0이 되기위한 조건은 cos함수 값이 0이 되는 경우 뿐인데, 이는 두 벡터의 사잇갓이 90도 혹은 270(-90)도 인 경우이다

따라서 두 벡터의 내적이 0이면 두 벡터는 직교한다고 결론 내릴 수 있으며 이는 두 벡터의 직교성을 판별하는 데 활용될 수 있다.